avangard-pressa.ru

Общий метод вычисление коэффициентов - Математика

Рассмотренный выше метод вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений МП, основанный на рассмотрении равновесия узлов рамы, приводит к затруднениям для рам с наклонными элементами. В этом случае, а также при реализации МП в компьютерной программе целесообразно воспользоваться общим методом вычисления коэффициентов.

Пусть рама загружена произвольной нагрузкой (рис. 6.6, а), а соответствующая ей основная система МП образована введением двух связей: моментной – i и линейной – j (рис. 6.6, б).

Рассмотрим два состояния этой системы, соответствующие единичным смещениям введенных связей, и обозначим через`Mi0 и`Mj0 соответствующие им эпюры изгибающих моментов (рис. 6.6, в, г).

Вычислим работу внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния:

A12 = rii· θij + rji·δjj = rii· 0 + rji·1 = rji .

Учитывая, что в силу (3.15)

A12 = – W12 = – Sò(`Mi0 ·`Mj0/EJ ) ds,

получим отсюда искомое выражение для определения удельных реакций:

rij = rji = Sò(`Mi0 ·`Mj0/EJ )ds . (6.4)

Последнее выражение напоминает формулу (4.4) для вычисления коэффициентов канонических уравнений в методе сил:

dij = (`Mi0 ´`Mj0) = Sò (`Mi0 ×`Mj0 /EJ)ds,

и может показаться, что свободные члены системы канонических уравнений в методе перемещений также вычисляются по формуле, аналогичной (4.5):

Dip0= (`Mi0 ´`Mp0) = Sò (`Mi0×`Mp0 /EJ)ds.

В действительности это не так: Rip0 ≠ (`Mi0 ´`Mp0), а (`Mi0 ´`Mp0) = 0.

Рассмотрим снова два состояния основной системы МП, и пусть первое по-прежнему соответствует единичному смещению i-й связи (рис. 6.6, в), а второе – единичной силе, приложенной в k-й точке этой системы (рис. 6.6, д).

zi =1

zj =1 Pk =1 Pk =1 zj=1 св j св i

Рис. 6.6

Работа внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния равна нулю:

A12 = rii · θip+ rji · δjp = rii · 0 + rji · 0 = 0,

а поскольку A12 = A21 , то

A21 = P · dpi + rip· θii = 0,

откуда

rip = – d pi .

То есть реакция в i-й связи основной системы от единичной силы, приложенной в точке k , равна взятому со знаком минус перемещению точки приложения силы от единичного смещения этой связи.

Это утверждение носит название второй теоремы Релея.

Возвращаясь к традиционным обозначениям МП и обобщая последнее соотношение на случай нескольких сил произвольной величины, получим:

Rip0 = – S Pk · dki . (6.5)

Таким образом, реакция в i-ой связи ОС МП от заданной нагрузки равна взятой со знаком минус работе всех сил, приложенных к системе, на перемещениях, вызванных единичным смещением этой связи.

Примечание

Поскольку A12 = 0, а A12 = – W12 , то действительно: (`Mi0 ´`Mp0) = – W12 = 0. При этом нетрудно доказать, что искомую реакцию можно вычислить по формуле:

Rip0 = (`Mi0 ´ Mp0) = – Σ(`Mi0 ´ Mp0/ EJ)ds,

где `Mi0 – это по-прежнему эпюра моментов в ОС МП от единичного смещения i-й связи, а Mp0 – эпюра моментов в любой ОС МС от заданной нагрузки. Такой, например, является эпюра, приведенная на рис. 6.6, е.

Легко убедиться, что в этом случае значение Rip0 = – 3Pl/16 совпадает с табличным значением, указанным на рис. 6.4.

ГЛАВА 7. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СНС МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ